Question

6．點M為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內切球O球面上的動點，點N為B₁C₁上一點，NC₁=2NB₁，DM⊥BN，若球O的體積為9$\sqrt{2}$π，則動點M的軌跡的長度為$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，在BB₁上取點P，使2BP=PB₁，連接CP、DP，由線面垂直的判定和性質可得M點的軌跡為平面DCP與球O的截面圓周，求出圓的半徑得答案．

解答 解：如圖，
在BB₁上取點P，使2BP=PB₁，連接CP、DP，BN，
∵NC₁=2NB₁，∴CP⊥BN，
又DC⊥平面BCC₁B₁，∴DC⊥BN，則BN⊥平面DCP，
則M點的軌跡為平面DCP與球O的截面圓周．
設正方體的棱長為a，則$\frac{4}{3}π×（\frac{a}{2}）^{3}=9\sqrt{2}π$，解得a=$3\sqrt{2}$．
連接OD、OP、OC，
由V_O-DPC=V_C-DPO，求得O到平面DPC的距離為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴截面圓的半徑r=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}$．
則點M的軌跡長度為$2π×\frac{3\sqrt{30}}{10}=\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．

點評 本題考查軌跡方程，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體體積，正確找出M點的軌跡是關鍵，難度較大．