Question

18．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A₁D₁=a，A₁B₁=2a，點P在線段AD₁上運動，當異面直線CP與BA₁所成的角最大時，則三棱錐C-PA₁D₁的體積為（　　）

• A． $\frac{a^3}{4}$
• B． $\frac{a^3}{3}$
• C． $\frac{a^3}{2}$
• D． a³

Answer 1

分析 當P與A重合時，異面直線CP與BA₁所成的角最大，由此能求出當異面直線CP與BA₁所成的角最大時，三棱錐C-PA₁D₁的體積．

解答 解：如圖，當P與A重合時，
異面直線CP與BA₁所成的角最大，
∴當異面直線CP與BA₁所成的角最大時，
三棱錐C-PA₁D₁的體積：
${V}_{C-P{A}_{1}{B}_{1}}$=${V}_{C-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}_{1}{D}_{1}}×AB$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{D}_{1}）×AB$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×a×a）×2a$
=$\frac{{a}^{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．