Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦點為F（c，0）且a＞b＞c＞0，設短軸的兩端點為D，H，原點O到直線DF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點，且|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設O為坐標原點，過點P（0，1）的動直線與橢圓E交于A，B兩點，是否存在常數λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值？求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的定義，則a=2，由bc=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得橢圓方程；
（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用根與系數的關系、向量數量積運算性質即可得出定值．當直線AB的斜率不存在時，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7成立．

解答 解：（1）由橢圓的定義及對稱性可知：|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．則2a=4，a=2，
由題意，O到直線DF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{bc}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則bc=$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，則b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，
A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kx-8=0．
其判別式△＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{8}{4{k}^{2}+3}$．
從而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]，
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{-8（1+λ）（1+{k}^{2}）-4{k}^{2}+3}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3，
當λ=2時，$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3=-7，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7為定值．
當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，
此時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，
故存在常數λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-7．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．