Question

12．函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在它的某一個周期內的單調減區間是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），所得到的圖象對應的函數記為g（x），若對于任意的x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，不等式m＜g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據周期公式計算ω，根據f（$\frac{5π}{12}$）=1計算φ，從而得出f（x）的解析式；
（II）利用函數圖象變換得出g（x）解析式，求出g（x）的最小值即可得出m的范圍．

解答 解：（ I）由已知得，$\frac{T}{2}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
又f（$\frac{5π}{12}$）=sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（ II）將y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的圖象，
∴g（x）=sin（4x-$\frac{2π}{3}$），
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，∴4x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當4x-$\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時，函數g（x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最小值為-$\frac{1}{2}$．
∴m$＜-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了正弦函數的性質，函數圖象的變換，屬于中檔題．