Question

已知函數f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數（a，b，c為常數）
（1）求實數c的值；
（2）若a，b∈N^*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；
（3）對于（2）中的f（x），若f（x）=m有正數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意得

ax2+1

-bx+c

+

ax2+1

bx+c

=0恒成立，從而解得；
（2）由題意得f（1）=

a+1

b

=2，f（2）=

4a+1

2b

＜3；從而解得；
（3）由題意得

x2+1

x

=m有正數解，從而解得．

解答： 解：（1）∵函數f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0，
即

ax2+1

-bx+c

+

ax2+1

bx+c

=0，
解得，c=0；

（2）由題意，f（1）=

a+1

b

=2，f（2）=

4a+1

2b

＜3；
又∵若a，b∈N^*，
解得，a=1，b=1；
故f（x）=

x2+1

x

；

（3）由題意，

x2+1

x

=m有正數解，
而

x2+1

x

≥2，
故m≥2．

點評：本題考查了函數的性質應用，同時考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．