Question

1．已知F₁，F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0）的左右焦點，點A在雙曲線的右支上，點P（7，2）是平面內一定點，若對任意實數m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個公共點，則|AP|+|AF₂|的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{37}$-6
• B． 10-3$\sqrt{5}$
• C． 8-$\sqrt{37}$
• D． 2$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 利用對任意實數m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個公共點，得出直線4x+3y+m=0與雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，求出a，再利用雙曲線的定義進行轉化，即可得出結論．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0），
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{a}$x，
∵對任意實數m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個公共點，
∴直線4x+3y+m=0與雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，
∴a=3，
∴c=5，
∴F₁為（-5，0），
∵P（7，2），∴|PF₁|=$\sqrt{（7+5）^{2}+4}$=2$\sqrt{37}$，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-6≥|PF₁|-6=2$\sqrt{37}$-6
∴|AP|+|AF₂|的最小值為2$\sqrt{37}$-6，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查雙曲線定義的運用，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．