Question

4．定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：（1）當$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$時，f（x）=$\frac{1}{2}-|{2x-\frac{3}{2}}$|；（2）f（2x）=2f（x），則關于x的函數F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n…x_2n，若$a∈（{\frac{1}{2}，1}）$，則x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=3×（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x\\;\\;\frac{3}{4}≤x＜1}\\{2x-1\\;\\;\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，此時f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時，f（x）∈[0，2]，…以此類推，
則F（x）=f（x）-a在區間（1，2）有2個零點，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×$\frac{3}{2}$=3，
依此類推：x₃+x₄=6，…，x_2n-1+x_2n=3×2^n-1．利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x\\;\\;\frac{3}{4}≤x＜1}\\{2x-1\\;\\;\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，此時f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，
∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）時，f（x）∈[0，2]，…以此類推，
則F（x）=f（x）-a在區間（1，2）有2個零點，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×$\frac{3}{2}$=3，
依此類推：x₃+x₄=6，…，x_2n-1+x_2n=3×2^n-1．如圖所示：

則x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=3×（2ⁿ-1）．
故答案為：3×（2ⁿ-1）．

點評 本題考查了函數的圖象與性質、區間轉換、對稱性、等比數列的前n項和公式等基礎知識與基本技能，屬于難題