Question

9．在平面直角坐標系中，點P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的一個動點，則點P到直線x-y+6=0的最大距離為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由設P（$\sqrt{3}$cosx，sinx），則點P到直線x-y+6=0的距離d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{丨2cos（\frac{π}{6}+θ）+6丨}{\sqrt{2}}$，利用余弦定理的性質，即可求得點P到直線x-y+6=0的最大距離．

解答 解：由題意可知：設P（$\sqrt{3}$cosx，sinx），則點P到直線x-y+6=0的距離d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{丨2cos（\frac{π}{6}+θ）+6丨}{\sqrt{2}}$，
由-1≤cos（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，則4≤2cos（θ+$\frac{π}{6}$）+6≤8，
∴2$\sqrt{2}$≤d≤4$\sqrt{2}$，
∴點P到直線x-y+6=0的最大距離為4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的參數方程，點到直線的距離公式，余弦函數的最值，考查計算能力，屬于中檔題．