Question

4．在棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為3、4、5，則以線段PQ為直徑的球的體積為（　　）

• A． $\frac{125π}{6}$
• B． $\frac{{125\sqrt{2}π}}{3}$
• C． $\frac{50π}{3}$
• D． $\frac{25π}{3}$

Answer 1

分析 根據題意，點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，再由長方體和其外接球的關系求解．

解答 解：根據題意：點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體，
則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線．
∴2r=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
∴r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由球的體積公式得：S=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{125\sqrt{2}}{3}$π．
故選B．

點評 本題主要考查空間幾何體的構造和組合體的基本關系，確定外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線是關鍵．