Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱長為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中點，F是BB₁上的動點，AB₁，DF交于點E，要使AB₁⊥平面C₁DF，則線段B₁F的長為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 作DE⊥AB₁交AB₁于E，延長DE交BB₁于F，連接C₁F，則AB₁⊥平面C₁DF，點FB₁B的中點即為所求，由C₁D⊥平面AA₁BB，AB₁?平面AA₁B₁B，則C₁D⊥AB₁，AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，滿足線面垂直的判定定理，則AB₁⊥平面C₁DF

解答 解：作DE⊥AB₁交AB₁于E，延長DE交BB₁于F，連接C₁F，則AB₁⊥平面C₁DF，點F即為所求．
∵C₁D⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴C₁D⊥AB₁．又AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF．
四邊形AA₁B₁B為正方形，此時點F為B₁B的中點．
如圖則有△AA₁B₁∽DB₁F，即$\frac{A{A}_{1}}{D{B}_{1}}=\frac{{A}_{1}B}{{B}_{1}F}$⇒${B}_{1}F=\frac{1}{2}$．
故選：A

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定．應熟練記憶直線與平面垂直的判定定理，屬于中檔題．