Question

3．一條直線上有三點A，B，C，點C在點A與點B之間，P是此直線外一點，設∠BPC=β，∠APC=α，則$\frac{sin（α+β）}{PC}$=（　　）

• A． $\frac{sinβ}{PA}$-$\frac{sinβ}{PB}$
• B． $\frac{sinα}{PB}$-$\frac{sinβ}{PA}$
• C． $\frac{sinα}{PA}$+$\frac{sinβ}{PB}$
• D． $\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$

Answer 1

分析 過點C作CE∥PA，交PB于點E，利用兩直線平行內錯角相等得到∠PCE=∠APC，∠PEC=π-（α+β），利用正弦定理列出關系式，再結合比例性質，即可得解．

解答 證明：過點C作CE∥PA，交PB于點E，
則∠PCE=α，∠PEC=π-（α+β），
則在△PCE中，由正弦定理得：
$\frac{sin∠PEC}{PC}$=$\frac{sin∠PCE}{PE}$=$\frac{sin∠BPC}{CE}$，
即 $\frac{sin[π-（α+β）]}{PC}$=$\frac{sinα}{PE}$=$\frac{sinβ}{CE}$，
∴$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PA•sinα}{PA•PE}$=$\frac{PB•sinβ}{PB•CE}$，
利用比例性質，有：$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PAsinα+PBsinβ}{PA•PE+PB•CE}$，
∵CE∥PA，
∴CE：PA=BE：PB，
∴PA•PE+PB•CE=PA•PE+PA•BE=PA•（PE+BE）=PA•PB，
則 $\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$．
故選：D．

點評 本題考查正弦定理，比例的性質，以及誘導公式的作用，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．