Question

15．如圖①所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，且AD=$\frac{1}{3}$BC=a，∠BAD=135°，AE⊥BC于點E，F為BE的中點．將△ABE沿著AE折起至△AB′E的位置，得到如圖②所示的四棱錐B′-ADCE．
（1）求證：AF∥平面B′CD；
（2）若平面AB′E⊥平面AECD，求二面角B′-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取B′C的中點G，連接FG，DG，推導出四邊形ADGF為平行四邊形，從而AF∥DG，由此能證明AF∥平面B′CD．
（2）以點E為原點，EB′為x軸，EC為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B′-CD-E的余弦值．

解答 證明：（1）取B′C的中點G，連接FG，DG．
∵F為B′E的中點，
∴FG∥EC，且FG=$\frac{1}{2}$EC，…（2分）
∵圖①中四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，
且AD=$\frac{1}{3}BC=a$，AE⊥BC，∠BAD=135°，
∴EC=2a，AD∥EC，AD=$\frac{1}{2}$EC，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四邊形ADGF為平行四邊形，∴AF∥DG，…（5分）
∵AF?平面B′CD，DG?平面B′CD，
∴AF∥平面B′CD．…（6分）
（2）由題意得EA，EB′，EC兩兩垂直，故以點E為原點，EB′為x軸，EC為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，
∴B′（a，0，0），D（0，a，a），C（0，2a，0），
∴$\overrightarrow{{B}^{'}C}$=（-a，2a，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，-a，a），設平面B′CD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{B}^{'}C}•\overrightarrow{n}=-ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}=-ay+az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），…（10分）
由題意$\overrightarrow{E{{B}^{'}}_{\;}}$=（a，0，0）為平面AECD的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{E{B}^{'}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2a}{a\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（11分）
由圖知平面B′CD與平面AECD所成的二面角為銳角，
∴二面角B′-CD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．