Question

4．正四棱錐S-ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側棱SD的中點，且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成的角是（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由題意由于圖中已有了兩兩垂直的三條直線，所以可以建立空間直角坐標系，先準確寫出個點的坐標，利用線面角和線與平面的法向量所構成的兩向量的夾角之間的關系即可求解．

解答 解：如圖所示，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz．
設OD=SO=OA=OB=OC=a，
則A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
則$\overrightarrow{CA}$=（2a，0，0），$\overrightarrow{PA}$=（-a，-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2ax=0}\\{-ax-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，
可求得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{n}$＞=60°，
∴直線BC與平面PAC所成的角為90°-60°=30°．
故選A．

點評 此題重點考查了直線與平面所成的角的概念及利用空間向量的方法求解空間中的直線與平面的夾角．