Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+4的零點(diǎn)小于3個(gè)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a的符號(hào)，求解函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax=3x（x-$\frac{2a}{3}$），
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在x=$\frac{2a}{3}$處取得極大值f（$\frac{2a}{3}$）=4-$\frac{4}{27}$a³＞0，
在x=0處取得極小值f（0）=4＞0，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，滿足條件；
當(dāng)a=0時(shí)顯然滿足條件，
當(dāng)a＞0時(shí)，在x=0處取得極大值4，在x=$\frac{2a}{3}$處取得極小值4-$\frac{4}{27}$a³≥0，
解得a≤3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．