Question

19．已知f（x）是一次函數，且滿足3f（x+1）-f（x）=2x+9，g（x）是二次函數，且滿足g（x）=0，g（x+1）=g（x）+x+1，則：
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）的解析式；
（3）畫出h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥-2}\\{g（x），x＜-2}\end{array}\right.$的圖象，并根據圖象寫出h（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）分別利用待定系數法求函數的解析式即可；
（3）結合（1），（2）可得h（x）的解析式，畫出圖形，得到最小值．

解答 解：（1）因為f（x）是一次函數，
所以設f（x）=kx+b，k≠0，
∴f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b，
3f（x+1）-f（x）=3（kx+k+b）-（kx+b）=2kx+3k+2b
因為對任意x，有3f（x+1）-f（x）=2x+9，
所以對任意x，有2kx+3k+2b=2x+9
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2k=2\\ 3k+2b=9\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=3\end{array}\right.$
∴f（x）的解析式為：f（x）=x+3．
（2）∵g（x）是二次函數，
所以設g（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
$\begin{array}{l}∴g（{x+1}）=a{（{x+1}）^2}+b（{x+1}）+c\\=a{x^2}+（{2a+b}）x+a+b+c\end{array}$
$\begin{array}{l}g（x）+x+1=a{x^2}+bx+c+x+1\\=a{x^2}+（{b+1}）x+c+1\end{array}$
∵對任意x，有g（x+1）=g（x）+x+1，
∴對任意x，有ax²+（2a+b）x+a+b+c=ax²+（b+1）x+c+1
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1\\ a+b+c=c+1\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴$g（x）的解析式為：g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x$．
（3）結合（1），（2）可得$h（x）=\left\{\begin{array}{l}x+3，x≥-2\\ \frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜-2\end{array}\right.$，圖象如圖，h（x）的最小值為h（-2）=1．

點評 本題考查了利用待定系數法求函數解析式以及由函數圖象得到函數的最值．屬于常規題．