Question

14．給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1．
②當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空．
③當x＞1時，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2   
④“在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題是真命題．
其中真命題③④．

Answer 1

分析 ①可得￢p：?x∈R，sinx＞1，即可判斷出真假．
②由于|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）=1，即可判斷出真假．
③當x＞1時，lnx＞0，利用基本不等式的性質即可判斷出真假．
④原命題的逆命題為“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”，在△ABC中，若A＞B，利用正弦定理即可判斷出真假．

解答 解：①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＞1，因此是假命題．
②∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）=1，∴當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為空集，因此為假命題．
③當x＞1時，lnx＞0，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2$\sqrt{lnx•\frac{1}{lnx}}$=2，當且僅當lnx=1，即x=e時取等號，為真命題．
④“在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題為“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”，在△ABC中，若A＞B，由正弦定理可得：a＞b，可得sinA＞sinB，因此為真命題．
其中真命題為③④．
故答案為：③④．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、基本不等式的性質、正弦定理、絕對值函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．