Question

6．已知函數f（x）=4x³-3x²cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ，其中x∈R，θ為參數，且0＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求參數θ的取值范圍，使函數f（x）的極小值大于零；
（Ⅱ）若對于（1）中的任意θ，函數f（x）在區間（2a-1，a）內都是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數，求出單調區間，判斷極小值，解大于0的不等式，即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區間（-∞，0]與[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）內都是增函數，由區間的包含關系得到a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x=0或x=$\frac{cosθ}{2}$．
當cosθ＞0時容易判斷f（x）在（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）上是增函數，在[0，$\frac{cosθ}{2}$]上是減函數，
故f（x）在x=$\frac{cosθ}{2}$處取得極小值f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ．
由f（$\frac{cosθ}{2}$）=-$\frac{1}{4}$cos³θ+$\frac{3}{16}$cosθ＞0，可得0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
同理，可知當cosθ＜0時，f（x）在x=0處取極小值f（0）=$\frac{3}{16}$cosθ＞0，即cosθ＞0，與cosθ＜0矛盾，
所以當cosθ＜0時，f（x）的極小值不會大于零．
綜上，要使函數f（x）在R上的極小值大于零，參數θ的取值范圍為$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）由（2）知函數f（x）在區間（-∞，0]，[$\frac{cosθ}{2}$，+∞）內都是增函數，由題設：
函數在（2a-1，a）內是增函數，則a需滿足不等式a≤0或2a-1≥$\frac{cosθ}{2}$
0＜cosθ＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而可以解得a≤0或$\frac{4+\sqrt{3}}{8}≤a＜1$．

點評 本題考查導數的綜合應用：求單調區間和求極值，考查三角不等式的運算求解能力，屬于中檔題．