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6.已知函數f(x)=4x3-3x2cosθ+$\frac{3}{16}$cosθ,其中x∈R,θ為參數,且0<θ<$\frac{π}{2}$.
(Ⅰ)求參數θ的取值范圍,使函數f(x)的極小值大于零;
(Ⅱ)若對于(1)中的任意θ,函數f(x)在區間(2a-1,a)內都是增函數,求實數a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出導數,求出單調區間,判斷極小值,解大于0的不等式,即可得到;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在區間(-∞,0]與[$\frac{cosθ}{2}$,+∞)內都是增函數,由區間的包含關系得到a的不等式,解出即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=12x2-6xcosθ,令f′(x)=0,得x=0或x=$\frac{cosθ}{2}$.
當cosθ>0時容易判斷f(x)在(-∞,0],[$\frac{cosθ}{2}$,+∞)上是增函數,在[0,$\frac{cosθ}{2}$]上是減函數,
故f(x)在x=$\frac{cosθ}{2}$處取得極小值f($\frac{cosθ}{2}$)=-$\frac{1}{4}$cos3θ+$\frac{3}{16}$cosθ.
由f($\frac{cosθ}{2}$)=-$\frac{1}{4}$cos3θ+$\frac{3}{16}$cosθ>0,可得0<cosθ<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵0<θ<$\frac{π}{2}$,∴$\frac{π}{6}$<θ<$\frac{π}{2}$.
同理,可知當cosθ<0時,f(x)在x=0處取極小值f(0)=$\frac{3}{16}$cosθ>0,即cosθ>0,與cosθ<0矛盾,
所以當cosθ<0時,f(x)的極小值不會大于零.
綜上,要使函數f(x)在R上的極小值大于零,參數θ的取值范圍為$\frac{π}{6}$<θ<$\frac{π}{2}$.
(Ⅱ)由(2)知函數f(x)在區間(-∞,0],[$\frac{cosθ}{2}$,+∞)內都是增函數,由題設:
函數在(2a-1,a)內是增函數,則a需滿足不等式a≤0或2a-1≥$\frac{cosθ}{2}$
0<cosθ<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,從而可以解得a≤0或$\frac{4+\sqrt{3}}{8}≤a<1$.

點評 本題考查導數的綜合應用:求單調區間和求極值,考查三角不等式的運算求解能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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