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17.在算式“30-△=4×□”中的△,□分別填入兩個正整數,使它們的倒數和最小,則這兩個數構成的數對(△,□)應為(  )
A.(4,14)B.(6,6)C.(3,18)D.(10,5)

分析 設△=a,□=b,(a>0,b>0),則a+4b=30,即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$(a+4b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=$\frac{1}{30}$(5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$),運用基本不等式即可得到最小值和取得等號的條件.

解答 解:設△=a,□=b,(a>0,b>0),
則a+4b=30,
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$(a+4b)($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$)=$\frac{1}{30}$(5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$)
≥$\frac{1}{30}$(5+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$)=$\frac{1}{30}$×(5+4)=$\frac{3}{10}$.
當且僅當a=2b,由a+4b=30,可得a=10,b=5,
取得最小值.
即這兩個數構成的數對(△,□)應為(10,5).
故選:D.

點評 本題考查基本不等式的運用:求最值,注意運用乘1法和滿足的條件:一正二定三等,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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④若0<x1<x2,則$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$<f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$).
其中正確結論的序號是(  )
A.①②B.①④C.②③D.③④

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