Question

17．在算式“30-△=4×□”中的△，□分別填入兩個正整數，使它們的倒數和最小，則這兩個數構成的數對（△，□）應為（　　）

• A． （4，14）
• B． （6，6）
• C． （3，18）
• D． （10，5）

Answer 1

分析 設△=a，□=b，（a＞0，b＞0），則a+4b=30，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$），運用基本不等式即可得到最小值和取得等號的條件．

解答 解：設△=a，□=b，（a＞0，b＞0），
則a+4b=30，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{30}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{30}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）
≥$\frac{1}{30}$（5+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$）=$\frac{1}{30}$×（5+4）=$\frac{3}{10}$．
當且僅當a=2b，由a+4b=30，可得a=10，b=5，
取得最小值．
即這兩個數構成的數對（△，□）應為（10，5）．
故選：D．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題．