Question

16．設經過拋物線y²=8x焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若AB中點M到拋物線準線的距離為8，則l的斜率為±1．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．由題意可得x₀+2=8，由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x₂，相減可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），再利用中點坐標公式與斜率計算公式代入解出即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₀，x₀+2=8，解得x₀=6．
由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x₂，相減可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
∴2y₀k=8，
∴${y}_{0}×\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=4，
解得y₀=±4，
k=$\frac{±4}{6-2}$=±1．
故答案為：±1．

點評 本題考查了直線與拋物線相交弦長問題、中點坐標公式與斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．