Question

1．已知函數f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a．
（1）求g（x）在P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$））處的切線方程l；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的個數．

Answer 1

分析 （I）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（II）設函數h（x）=f（x）-g（x），這個函數有幾個零點就說明有幾個根．然后利用導數研究函數單調性，并求出函數的最值，討論最值的取值范圍確定函數零點的個數即可求根的個數．

解答 解：（Ⅰ）∵g′（x）=$\frac{-2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，∴g′（$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$且g（$\sqrt{2}$）=1+a
故g（x）在點P（$\sqrt{2}$，g（$\sqrt{2}$）））處的切線方程為2$\sqrt{2}$x+y-5-a=0 
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-$\frac{1}{{x}^{2}-1}$-ah′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{2x}{（{x}^{2}-1）^{2}}$．
x∈[0，1）∪（1，+∞）時h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時，h′（x）＜0，
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）時h（x）單調遞減，[0，1），（1，+∞）時h（x）單調遞增．h（x）為偶函數，
x∈（-1，1）時h（x）極小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情況為：
1-a＞0時，a＜1時，原方程有2個根；
1-a=0時，a=1時，原方程有3個根；
1-a＜0時，a＞1時，原方程有4個根．

點評 此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，本題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．此題考查學生利用導數研究函數單調性的能力，培養學生分類討論的數學思想．