Question

3．已知直線x-y+1=0上有兩點A，B，且AB=2，動點P在拋物線y²=2x上，則△PAB面積的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 通過三角形的面積公式可知當點P到直線AB的距離最小時面積最小，求出與直線x-y+1=0平行且為拋物線的切線的直線方程，進而利用面積公式計算即得結論．

解答 解：設與直線x-y+1=0平行且與拋物線相切的直線l方程為：x-y-t=0，
聯立直線l與拋物線方程，消去y得：y²-2y-2t=0，
則△=4+8t=0，即t=-$\frac{1}{2}$，
∵直線x-y+1=0與直線l之間的距離d=$\frac{|1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴S_min=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}•2•$$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，屬于中檔題．