Question

17．數列{a_n}中，${a_1}=\frac{5}{3}，{a_2}=\frac{7}{3}$，且${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．
（1）求a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項a_n；
（3）若數列{b_n}的前n項和${S_n}=\frac{1}{3}{n^2}$，求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）${a_1}=\frac{5}{3}，{a_2}=\frac{7}{3}$，且${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．可得a₃=$\frac{5}{3}{a}_{2}-\frac{2}{3}{a}_{1}$．同理可得a₄．
（2）由${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．可得：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），a₂-a₁=$\frac{2}{3}$．利用等比數列的通項公式可得：a_n+1-a_n，再利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（3）數列{b_n}的前n項和${S_n}=\frac{1}{3}{n^2}$，n≥2時，b_n=S_n-S_n-1．n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$，上式也成立．可得b_n=$\frac{2n-1}{3}$．a_nb_n=$\frac{11}{9}$×（2n-1）-（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．設{（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n}$}的前n項和為A_n，利用錯位相減法即可得出．

解答 解：（1）∵${a_1}=\frac{5}{3}，{a_2}=\frac{7}{3}$，且${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．
∴a₃=$\frac{5}{3}{a}_{2}-\frac{2}{3}{a}_{1}$=$\frac{25}{3}$．
a₄=$\frac{5}{3}×\frac{25}{3}-\frac{2}{3}×\frac{7}{3}$=37．
（2）${a_1}=\frac{5}{3}，{a_2}=\frac{7}{3}$，且${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．
由${a_{n+2}}=\frac{5}{3}{a_{n+1}}-\frac{2}{3}{a_n}\begin{array}{l}，{n∈{N^*}}\end{array}$．
可得：a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），a₂-a₁=$\frac{2}{3}$．
∴數列{a_n+1-a_n}是等比數列，首項與公比都為$\frac{2}{3}$．
∴a_n+1-a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（\frac{2}{3}）^{n-1}+（\frac{2}{3}）^{n-2}$+…+$\frac{2}{3}$+$\frac{5}{3}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{3}$-$2×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（3）數列{b_n}的前n項和${S_n}=\frac{1}{3}{n^2}$，
∴n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}{n}^{2}-\frac{1}{3}（n-1）^{2}$=$\frac{2n-1}{3}$．
n=1時，b₁=S₁=$\frac{1}{3}$，上式也成立．
∴b_n=$\frac{2n-1}{3}$．
a_nb_n=$\frac{11}{9}$×（2n-1）-（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．
設{（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n}$}的前n項和為A_n，
則A_n=$\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}$+5×$（\frac{2}{3}）^{3}$+…+（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．
$\frac{2}{3}{A}_{n}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$+$3×（\frac{2}{3}）^{3}$+…+（2n-3）×$（\frac{2}{3}）^{n}$+（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
∴$\frac{1}{3}{A}_{n}$=$\frac{2}{3}$+2×$[（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{3}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n}]$-（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$=$\frac{2}{3}$+2×$\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}$（2n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
可得A_n=10-（6n+15）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$．
∴數列{a_nb_n}的前n項和T_n=$\frac{11}{9}×\frac{n（1+2n-1）}{2}$-10+（6n+15）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$
=$\frac{11{n}^{2}}{9}$-10+（6n+15）×$（\frac{2}{3}）^{n+1}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、數列遞推關系、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．