Question

12．△ABC中，c是a與b的等差中項，sinA，sinB，sinC依次為一等比數列的前n項，前2n項，前3n項的和，則cosC的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 運用等差數列和等比數列的性質，結合正弦定理，可得a，b，c的關系，再由余弦定理計算即可得到所求值．

解答 解：c是a與b的等差中項，
可得a+b=2c，①
sinA，sinB，sinC依次為一等比數列的前n項，前2n項，前3n項的和，
由等比數列的和的性質，可得
sinA，sinB-sinA，sinC-sinB成等比數列，
可得sinA（sinC-sinB）=（sinB-sinA）²，
由正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入，化簡可得a（c-b）=（b-a）²，②
由①②可得
a（a+b-2b）=2（b-a）²，
化簡可得a=b或a=2b，
若a=b，則a=b=c，由等比數列各項均不為0，可得a≠b；
則a=2b，c=$\frac{3}{2}$b，
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4{b}^{2}+{b}^{2}-\frac{9}{4}{b}^{2}}{2•2b•b}$=$\frac{11}{16}$．
故選：C．

點評 本題考查等差數列和等比數列中項的性質，考查正弦定理和余弦定理的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．