Question

5．如圖，已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$，證明：α⊥β．

Answer 1

分析 （1）推導出B⊥PC，AB⊥PD從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥CD．
（2）過C作CO⊥AB，連結DO，則∠COD是二面角α-AB-β的平面角，推導出PC⊥PD，由此能證明α⊥β．

解答 證明：（1）∵平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足，
∴AB⊥PC，AB⊥PD，
∵PC∩PD=P，
∴AB⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，∴AB⊥CD．
（2）過C作CO⊥AB，連結DO，則DO⊥AB，
∴∠COD是二面角α-AB-β的平面角，
∵PC=PD=1，CD=$\sqrt{2}$，
∴PC²+PD²=CD²，∴PC⊥PD，
∴∠CPD=90°，∴∠COD=90°，
∴α⊥β．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．