Question

8．在△ABC中，內角A，B，C滿足$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$且$cosB=\frac{11}{14}$．
（1）求角A的大小；
（2）若內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=14，求邊BC上的中線AD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinB，代入已知等式可得3sinA=7sinC，由三角函數恒等變換的應用可求tanA，結合范圍0＜A＜π，可求A的值．
（2）由（1）可求sinA，sinC，由正弦定理解得c，b的值，進而在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．

解答 解：（1）在△ABC中，因為$cosB=\frac{11}{14}$，
所以$sinB=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．
代入$2\sqrt{3}sinAsinB=5sinC$，化簡可得3sinA=7sinC．
因為A+B+C=π，
所以sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，化簡得$tanA=-\sqrt{3}$．
因為0＜A＜π，
所以A=$\frac{2π}{3}$．
（2）因為$A=\frac{2π}{3}$，
所以$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，sinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，且a=14，
得：c=6，b=10，
在△ABD中，由余弦定理得：$A{D^2}=A{B^2}+B{D^2}-2AB×BD×cosB=36+49-2×6×7×\frac{11}{14}=19$，
所以：$AD=\sqrt{19}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，三角函數恒等變換的應用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．