Question

18．已知橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），E上動點P到右焦點F距離的最大值為3，且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過F任作直線l交橢圓E于M、N兩點，且線段MN垂直平分線交x軸于一點D．問是否存在常數λ，使|FD|=λ|MN|．若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由根據離心率公式及a+c=3，列方程組，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²=3，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）由直線l的斜率存在，將直線方程代入橢圓方程，利用弦長公式及三角形的性質，分別求得|FD|，|MN|．即可求得$|DF|=\frac{1}{4}|MN|$．則存在$λ=\frac{1}{4}$，使得|FD|=λ|MN|．

解答 解（Ⅰ）由已知得$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，…（2分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，則b²=a²-c²=3，…（4分）
∴橢圓E的方程為；$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的右焦點F坐標為（1，0），
∵線段MN垂直平分線交x軸于一點D，∴直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x-1），
（1）當k=0時，|MN|=2a=4，|FD|=c=1，取$λ=\frac{1}{4}$，$|FD|=\frac{1}{4}|MN|$；…（7分）
（2）當k≠0時，設G為線段MN的中點，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀），
設α為直線l的傾斜角，則$|DF|=\frac{|FG|}{|cosα|}=|FG|\sqrt{1+{{tan}^2}α}=|FG|\sqrt{1+{k^2}}$=$\sqrt{{{（{x_0}-1）}^2}+y_0^2}•\sqrt{1+{k^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_0}-1）}^2}}•\sqrt{1+{k^2}}=|{x_0}-1|（1+{k^2}）$①…（9分）
$|MN|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$②…（11分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$、${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$、${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$…（13分）
代入①②兩式并整理得：$|DF|=\frac{{3（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，$|MN|=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，…（14分）
則$|DF|=\frac{1}{4}|MN|$．
∴存在$λ=\frac{1}{4}$，使得|FD|=λ|MN|．…（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．