Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AB=AC，D、E分別是棱BC、CC'上的點（點D不同于點C），且AD⊥BC，F為B'C'的中點．求證：
（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；     
（Ⅱ）直線A'F∥平面ADE．

Answer 1

分析 （I）根據AD⊥BC，AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′，于是平面ADE⊥平面BCC'B'； 
（II）連結DF，證明四邊形ADFA′是平行四邊形得出A′F∥AD，于是A'F∥平面ADE．

解答 證明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB′，
∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′?平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，
∴AD⊥平面BCC′B′，
又AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC'B'．
（II）連結DF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中點，又F是B′C′的中點，
∴B′F$\stackrel{∥}{=}$BD，∴四邊形BDFB′是平行四邊形，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$BB′，又BB′$\stackrel{∥}{=}$AA′，
∴DF$\stackrel{∥}{=}$AA′，∴四邊形ADFA′是平行四邊形，
∴A′F∥AD，
又A′F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A′F∥平面ADE．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面平行的判定，屬于中檔題．