Question

14．已知f（x）是定義在R上的減函數，其導函數f'（x）滿足$\frac{f（x）+xf'（x）}{f'（x）}＜1$，則下列結論中正確的是（　　）

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0
• C． 當且僅當x∈（-∞，1），f（x）＜0
• D． 當且僅當x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

分析 令g（x）=（x-1）f（x），則g（x）在R遞增，根據函數的單調性判斷出f（x）的符號即可．

解答 解：∵$\frac{f（x）+xf'（x）}{f'（x）}＜1$，f′（x）＜0，
故f（x）+（x-1）f′（x）＞0，
令g（x）=（x-1）f（x），則g（x）在R遞增，
而g（1）=0，故x＞1時，g（x）＞0，x＜1時，g（x）＜0，則f（x）＞0，
故f（x）＞0在R恒成立，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道基礎題．