Question

6．已知函數$f（x）=x-\frac{1}{x^m}$，且$f（2）=\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數；
（3）當x∈[-5，-3]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據f（2）=$\frac{3}{2}$，求出m的值，從而求出函數的解析式即可；
（2）根據函數單調性的定義證明即可；
（3）根據函數的單調性求出函數在閉區間的最大值即可．

解答 解：（1）由$f（2）=\frac{3}{2}$，得$2-\frac{1}{2^m}=\frac{3}{2}$，解得m=1，故$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
（2）判斷：函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且${x_1}＜{x_2}，f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-\frac{1}{x_1}-（{{x_2}-\frac{1}{x_2}}）$
=$（{{x_1}-{x_2}}）（{1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$，
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴${x_1}-{x_2}＜0，1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0，f（{x_1}）-f（{x_2}）＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）因為 f（x）是奇函數，f（x）在（0，+∞）上遞增，
所以f（x）在（-∞，0）上遞增，
當x∈[-5，-3]時，函數f（x）的最大值為$f（{-3}）=-\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查根據定義證明函數的單調性問題，是一道中檔題．