Question

20．已知函數f（x）=x-2sinx
（Ⅰ）求函數f（x）在[0，π]的最值；
（Ⅱ）若存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，利用導函數判斷函數的單調性，即可求出最值；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立，設g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，根據g（x）導函數判斷g（x）的單調性即可；

解答 （1）f'（x）=1-cos2x，[0，π]時$f'（x）＞0⇒\frac{π}{3}＜x≤π$；$f'（x）＜0⇒0≤x＜\frac{π}{3}$
函數f（x）在$[{0，\frac{π}{3}}]$單調遞減，在$[{\frac{π}{3}，π}]$單調遞減增．
x∈[0，π]時，${f_{min}}（x）=f（\frac{π}{3}）=\frac{π}{3}-\sqrt{3}$f（0）=0，f（π）=π，f_max（x）=f（π）=π；
（2）存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）＜ax成立；
存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，x-2sinx＜ax成立；
設g（x）=f（x）-ax=x-2sinx-ax，則g（0）=0且g'（x）=1-a-2cosx．
$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，1-2cosx∈（-1，1）；
所以g'（x）=1-a-2cosx∈（-1-a，1-a）；
若-1-a＜0，即a＞-1時，g'（0）=-1-a＜0；
因為g'（x）=1-a-2cosx在$（0，\frac{π}{2}）$單調遞增，所以存在區間$（{0，t}）?（0，\frac{π}{2}）$，
使x∈（0，t）時，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，t）單調遞減，
x∈（0，t）時，g（x）＜0 即f（x）＜ax；
所以：a＞-1．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性與最值，以及構造函數的應用，屬中等題．