Question

9．給出下列四個命題：
①已知M={（x，y）|$\frac{y-3}{x-2}$=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，則a=-6；
②已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則以AB為直徑的圓的方程是（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0；
③$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a≠b）表示焦點在x軸上的橢圓；
④已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-4
其中的真命題是②④．（把你認為是真命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①，$\frac{y-3}{x-2}$=3中x≠2，不過點（2，3）；②，設圓上任意一點P（x，y），有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得圓的方程；
③，a≠b時，橢圓焦點在x、y軸上均可能，還有可能是橢圓；④設直線AB的方程為x=my+$\frac{P}{2}$，與拋物線方程聯立消掉x得y的二次方程，根據韋達定理即可求得答案．

解答 解：對于 ①，$\frac{y-3}{x-2}$=3中x≠2，不過點（2，3），把點（2，3）代入ax+2y+a=0，a=-2，故錯；
對于②，設圓上任意一點P（x，y），有$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得圓的方程（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，故正確；
對于③，a≠b時，橢圓焦點在x、y軸上均可能，還有可能是橢圓，故錯；                                      
對于④，設直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，由韋達定理得，y₁y₂=-p²．∵y₁²=2px₁、y₂²=2px₂∴，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p^2
⇒ 則$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-4，故正確．
 故答案：②④

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了解析幾何的大量基礎知識，屬于中檔題．