Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，斜率為1的直線與橢圓交于A，B．則線段AB的中點軌跡方程為$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（橢圓內部）$．

Answer 1

分析 設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設條件知y₁-y₂=x₁-x₂．由中點坐標公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直線方程為9x+16y=0，由此可知點M的軌跡方程．

解答 解：設線段AB的中點M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有9x₁²+16y₁²=144，①
9x₂²+16y₂²=144，②
①-②得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+16（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．③
∵直線AB的斜率k=1，
∴y₁-y₂=x₁-x₂④
由中點坐標公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．⑤
把④⑤代入到③中得9x+16y=0，
由：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，9x+16y=0，
得x=±$\frac{16}{5}$．
∴點M的軌跡方程為$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（橢圓內部）$，
故答案為$9x+16y=0（{-\frac{16}{5}≤x≤\frac{16}{5}}）或（{-\frac{9}{5}≤y≤\frac{9}{5}}）或（橢圓內部）$．

點評 本題考查軌跡的求法和應用，考查點差法，解題時要認真審題，仔細解答．