Question

5．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足${a_{n+1}}=2\sqrt{S_n}+1$，（n∈N^*），且a₁=1
（I）求a_n；
（II）設數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由4S_n=a_n+1²+2a_n+1+1，當n≥2時，4S_n-1=a_n²+2a_n+1，兩式相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，則a_n-a_n-1=2，由等差數列通項公式即可求得a_n；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用裂項法即可求得數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n項和為T_n．

解答 解：（1）由${a_{n+1}}=2\sqrt{S_n}+1$，則4S_n=a_n+1²+2a_n+1+1，
當n≥2時，4S_n-1=a_n²+2a_n+1，
4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1²+2a_n+1+1）-（a_n²+2a_n+1），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由a_n≠0，則a_n-a_n-1=2，
則數列{a_n}是以a₁=1為首項，d=2為公差的等差數列，a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1；
（2）數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的通項公式數列$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
即數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前n項和T_n=$\frac{n}{2n+1}$，

點評 本題考查等差數列的通項公式的求法，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．