Question

15．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1時有極值0．
（1）求常數 a，b的值；  
（2）求f（x）的單調區間．
（3）方程f（x）=c在區間[-4，0]上有三個不同的實根時實數c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²+6ax+b，利用函數的極值點，列出方程組求解即可．
（2）求出導函數f′（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1），求出極值點，列表判斷導函數的符號，推出函數的單調性，求解函數的單調區間．
（3）利用函數的極值，求解c的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）可得f′（x）=3x²+6ax+b，
由題x=-1時有極值0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$…（2分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$…（4分）
（2）當a=2，b=9時，f（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1）
故方程f（x）=0有根x=-3或x=-1…（6分）

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表可見，當x=-1時，f（x）有極小值0，故$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$符合題意      …（8分）
由上表可知：f（x）的減函數區間為（-3，-1）f（x）的增函數區間為（-∞，-3）或（-1，+∞）…（10分）
（3）因為f（-4）=0，f（-3）=4，f（-1）=-1，f（0）=4，
由函數的連續性以及函數的單調性可得0＜c＜4．                               …（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，考查函數的單調性以及函數的極值的求法，考查轉化思想以及計算能力．