Question

20．已知曲線C的極坐標方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，以極點為直角坐標系原點，極軸所在直線為x軸建立直角坐標系，曲線C₁的參數方程為${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數），．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程和曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）若點M在曲線C₁上運動，試求出M到曲線C的距離的最小值及該點坐標．

Answer 1

分析 （1）直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知可得曲線C的直角坐標方程，把${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$變形，利用平方關系消參可得曲線C₁的普通方程；
（2）設出點M的坐標，利用點到直線的距離公式及三角函數的輔助角公式化積得答案．

解答 解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y-10=0，
∴曲線C的普通方程是：x+2y-10=0．
由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²α=1，得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0，
設點M（3cosα，2sinα），由點到直線的距離公式得：
$d=\frac{{|{3cosα+4sinα-10}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{5cos（α-φ）-10}|$，其中$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$，
∴α-φ=0時，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此時$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數方程化普通方程，訓練了點到直線距離公式的應用，是中檔題．