Question

12．如圖，半徑為2的圓圓心的初始位置坐標為（0，2），圓上一點A坐標為（0，0）．圓沿x軸正向滾動，當圓滾動到圓心位于（4，2）時，A點坐標為（4-2sin2，2-2cos2）．

Answer 1

分析 設滾動后的圓的圓心為O'，切點為C（4，0），連接O'A，過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（6，2），設∠BO'A=θ，則根據圓的參數方程，得P的坐標，再根據圓的圓心從（0，2）滾動到（4，2），算出θ，結合三角函數的誘導公式，化簡可得A的坐標．

解答 解：設滾動后的圓的圓心為O'，切點為C（4，0），連接O'A，
過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（6，2），設∠BO'A=θ，
∵⊙O'的方程為（x-4）²+（y-2）²=4，
∴根據圓的參數方程，得A的坐標為（4+2cosθ，2+2sinθ），
∵單位圓的圓心的初始位置在（0，2），圓滾動到圓心位于（4，2）
∴可得θ=$\frac{3π}{2}$-2
可得cosθ=cos（$\frac{3π}{2}$-2）=-sin2，sinθ=sin（$\frac{3π}{2}$-2）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到A的坐標為（4-2sin2，2-2cos2）．
故答案為（4-2sin2，2-2cos2）

點評 本題根據半徑為2的圓的滾動，求一個向量的坐標，著重考查了圓的參數方程和平面向量的坐標表示的應用等知識點，屬于中檔題．