Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率e=$\frac{1}{2}$，右焦點到右頂點的距離為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B兩點為橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，記直線PA，PB斜率分別為K_PA，K_PB，求K_PA•K_PB的值．

Answer 1

分析 （1）利用離心率以及已知條件列出方程組求解即可得到橢圓方程．
（2）求出A（-2，0），B（2，0），設P坐標為（x，y），求出直線PA，PB斜率分別為${K_{PA}}=\frac{y}{x+2}$，${K_{PB}}=\frac{y}{x-2}$，利用${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}$，點P在橢圓C上，轉化求解即可．

解答 解：（1）由題有$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ a-c=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\end{array}\right.$，所以b²=a²-c²=3，所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由（1）有A，B兩點坐標為A（-2，0），B（2，0），
設P坐標為（x，y），則直線PA，PB斜率分別為${K_{PA}}=\frac{y}{x+2}$，${K_{PB}}=\frac{y}{x-2}$，
所以${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{y^2}{{{x^2}-4}}$，
又因為點P在橢圓C上，所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，化為${y^2}=3（{1-\frac{x^2}{4}}）=\frac{{3（{4-{x^2}}）}}{4}$，
所以${K_{PA}}•{K_{PB}}=\frac{{\frac{{3（{4-{x^2}}）}}{4}}}{{{x^2}-4}}=-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．