Question

17．若函數f（x）對定義域內的任意x₁，x₂，當f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱函數f（x）為單純函數，例如函數f（x）=x是單純函數，但函數f（x）=x²不是單純函數，下列命題：
①函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x，x≥2\\ x-1，x＜2\end{array}\right.$是單純函數；
②當a＞-2時，函數$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}$在（0，+∞）上是單純函數；
③若函數f（x）為其定義域內的單純函數，x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④若函f（x）數是單純函數且在其定義域內可導，則在其定義域內一定存在x₀使其導數f'（x₀）=0．
其中正確的命題為①③．（填上所有正確的命題序號）

Answer 1

分析 利用單純函數的定義，進行判斷，即可得出結論．

解答 解：由單純函數的定義可知單純函數f（x）的自變量和函數值是一一映射，
因此單調函數一定是單純函數，但單純函數不一定是單調函數，①③正確；
當a=0時$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）不是單純函數，②錯誤；
函數f（x）=x是單純函數，但其定義域內不存在x₀使其導函數f'（x₀）=0，④錯誤．
故答案為①③．

點評 本題考查新定義，函數的性質及應用，簡易邏輯，屬于中檔題．