Question

14．已知f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）定義域關(guān)于原點對稱，利用奇函數(shù)的定義判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）由f（x）＞0得log₂（1-x）＞log₂（1+x），即可求使f（x）＞0的x的取值集合．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，∴-1＜x＜1，
函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）…（4分）
（2）因為定義域關(guān)于原點對稱，又f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；…（8分）
（3）由f（x）＞0得log₂（1-x）＞log₂（1+x），
所以1-x＞1+x，得x＜0，
而-1＜x＜1，解得-1＜x＜0，
所以使f（x）＞0的x的取值集合是{x|-1＜x＜0}…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的定義域，考查奇函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．