Question

3．已知函數f（x）的定義域為D，若存在區間[m，n]⊆D使得f（x）：
（Ⅰ）f（x）在[m，n]上是單調函數；
（Ⅱ）f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
則稱區間[m，n]為函數f（x）的“倍值區間”．
下列函數中存在“倍值區間”的有①②④（填上所有你認為正確的序號）
①f（x）=x²； ②$f（x）=\frac{1}{x}$；③$f（x）=x+\frac{1}{x}$；   ④$f（x）=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$．

Answer 1

分析 函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[m，n]內是單調函數，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，對四個函數的單調性分別研究，從而確定是否存在“倍值區間”．

解答 解：函數中存在“倍值區間”，則：①f（x）在[m，n]內是單調函數，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，
①f（x）=x²，若存在“倍值區間”[m，n]，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，∴f（x）=x²，存在“倍值區間”[0，2]；
②f（x）=$\frac{1}{x}$（x∈R），若存在“倍值區間”[m，n]，當x＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=2n}\\{\frac{1}{n}=2m}\end{array}\right.$⇒mn=$\frac{1}{2}$，故只需mn=$\frac{1}{2}$即可，故存在；
③$f（x）=x+\frac{1}{x}$；當x＞0時，在區間[0，1]上單調遞減，在區間[1，+∞）上單調遞增，若存在“倍值區間”[m，n]⊆[0，1]⇒m+$\frac{1}{m}$=2n，n+$\frac{1}{n}$=2m⇒m²-2mn+1=0．n²-2mn+1=0
⇒m²=n²不符題意；若存在“倍值區間”[m，n]⊆[1，+∞）⇒m+$\frac{1}{m}$=2m，n+$\frac{1}{n}$=2n⇒m²=n²=1不符題意，故此函數不存在“倍值區間“；
④$f（x）=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$．$f′（x）=\frac{3（1-x）（1+x）}{（{x}^{2}+1）}$，當x∈[0，1]時，f′（x）＞0，當x∈[1，+∞）時，f′（x）＜0，在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，+∞）上單調遞減，
若存在“倍值區間”[m，n]⊆[0，1]，$\frac{3m}{{m}^{3}+1}=2m.\frac{3n}{{n}^{2}+1}=2n$，∴m=0，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即存在“倍值區間”[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
故答案為：①②④

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，涉及到大量的函數知識及計算，屬于中檔題．