Question

13．已知F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F₁F₂為直徑的圓內，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，+∞）
• C． $（1，\;\sqrt{2}）$
• D． $（\sqrt{2}，\;+∞）$

Answer 1

分析 不妨設F₁（0，c），F₂（0，-c），則過F₁與漸近線$y=\frac{a}{b}x$平行的直線為$y=\frac{a}{b}x+c$，聯立直線組成方程組，求出M坐標，利用點與圓的位置關系，列出不等式然后求解離心率即可．

解答 解：如圖1，不妨設F₁（0，c），F₂（0，-c），則過F₁與漸近線$y=\frac{a}{b}x$平行的直線為$y=\frac{a}{b}x+c$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{a}{b}x+c\\ y=-\frac{a}{b}x\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{bc}{2a}\\ y=\frac{c}{2}\end{array}\right.$即$M（-\frac{bc}{2a}，\frac{c}{2}）$
因M在以線段F₁F₂為直徑的圓x²+y²=c²內，
故${（-\frac{bc}{2a}）^2}+{（\frac{c}{2}）^2}＜{c^2}$，化簡得b²＜3a²，
即c²-a²＜3a²，解得$\frac{c}{a}＜2$，又雙曲線離心率$e=\frac{c}{a}＞1$，所以雙曲線離心率的取值范圍是（1，2）．
故選：A．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系的應用，雙曲線的簡單性質的應用，考查數形結合以及計算能力．