Question

8．設n∈N^*，n≥3，k∈N^*．
（1）求值：
①kC_n^k-nC_n-1^k-1；
②k²C_n^k-n（n-1）C_n-2^k-2-nC_n-1^k-1（k≥2）；
（2）化簡：1²C_n⁰+2²C_n¹+3²C_n²+…+（k+1）²C_n^k+…+（n+1）²C_nⁿ．

Answer 1

分析 （1）利用組合數的計算公式即可得出．
（2）方法一：由（1）可知當k≥2時${（{k+1}）^2}C_n^k=（{{k^2}+2k+1}）C_n^k={k^2}C_n^k+2kC_n^k+C_n^k$=$[{n（{n-1}）C_{n-2}^{k-2}+nC_{n-1}^{k-1}}]+2nC_{n-1}^{k-1}+C_n^k=n（{n-1}）C_{n-2}^{k-2}+3nC_{n-1}^{k-1}+C_n^k$．代入化簡即可得出．
方法二：當n≥3時，由二項式定理，有${（{1+x}）^n}=1+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^k{x^k}+…+C_n^n{x^n}$，
兩邊同乘以x，得${（{1+x}）^n}x=x+C_n^1{x^2}+C_n^2{x^3}+…+C_n^k{x^{k+1}}+…+C_n^n{x^{n+1}}$，
兩邊對x求導，得${（{1+x}）^n}+n{（{1+x}）^{n-1}}x=1+2C_n^1x+3C_n^2{x^2}+…+（{k+1}）C_n^k{x^k}+…+（{n+1}）C_n^n{x^n}$，兩邊再同乘以x，得${（{1+x}）^n}x+n{（{1+x}）^{n-1}}{x^2}=x+2C_n^1{x^2}+3C_n^2{x^3}+…+（{k+1}）C_n^k{x^{k+1}}+…+（{n+1}）C_n^n{x^{n+1}}$，
兩邊再對x求導，得（1+x）ⁿ+n（1+x）^n-1x+n（n-1）（1+x）^n-2x²+2n（1+x）^n-1x=$1+{2^2}C_n^1x+{3^2}C_n^2{x^2}+…+{（{k+1}）^2}C_n^k{x^k}+…+{（{n+1}）^2}C_n^n{x^n}$．
令x=1，即可得出．

解答 解：（1）①$kC_n^k-nC_{n-1}^{k-1}=k×\frac{n!}{{k!（{n-k}）!}}-n×\frac{{（{n-1}）!}}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}$=$\frac{n!}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}-\frac{n!}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}=0$．…（2分）
②${k^2}C_n^k-n（{n-1}）C_{n-2}^{k-2}-nC_{n-1}^{k-1}={k^2}×\frac{n!}{{k!（{n-k}）!}}-n（{n-1}）×\frac{{（{n-2}）!}}{{（{k-2}）!（{n-k}）!}}$$-n×\frac{{（{n-1}）!}}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}$=$k×\frac{n!}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}-\frac{n!}{{（{k-2}）!（{n-k}）!}}-\frac{n!}{{（{k-1}）!（{n-k}）!}}$=$\frac{n!}{{（{k-2}）!（{n-k}）!}}（{\frac{k}{k-1}-1-\frac{1}{k-1}}）=0$．…（4分）
（2）方法一：由（1）可知當k≥2時${（{k+1}）^2}C_n^k=（{{k^2}+2k+1}）C_n^k={k^2}C_n^k+2kC_n^k+C_n^k$=$[{n（{n-1}）C_{n-2}^{k-2}+nC_{n-1}^{k-1}}]+2nC_{n-1}^{k-1}+C_n^k=n（{n-1}）C_{n-2}^{k-2}+3nC_{n-1}^{k-1}+C_n^k$．（6分）
故${1^2}C_n^0+{2^2}C_n^1+{3^2}C_n^2+…+{（{k+1}）^2}C_n^k+…+{（{n+1}）^2}C_n^n$=$（{{1^2}C_n^0+{2^2}C_n^1}）+n（{n-1}）（{C_{n-2}^0+C_{n-2}^1+…+C_{n-2}^{n-2}}）+3n（{C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+…+C_{n-1}^{n-1}}）$$+（{C_n^2+C_n^3+…+C_n^n}）$=（1+4n）+n（n-1）2^n-2+3n（2^n-1-1）+（2ⁿ-1-n）=2^n-2（n²+5n+4）．…（10分）
方法二：當n≥3時，由二項式定理，有${（{1+x}）^n}=1+C_n^1x+C_n^2{x^2}+…+C_n^k{x^k}+…+C_n^n{x^n}$，
兩邊同乘以x，得${（{1+x}）^n}x=x+C_n^1{x^2}+C_n^2{x^3}+…+C_n^k{x^{k+1}}+…+C_n^n{x^{n+1}}$，
兩邊對x求導，得${（{1+x}）^n}+n{（{1+x}）^{n-1}}x=1+2C_n^1x+3C_n^2{x^2}+…+（{k+1}）C_n^k{x^k}+…+（{n+1}）C_n^n{x^n}$，…（6分）
兩邊再同乘以x，得${（{1+x}）^n}x+n{（{1+x}）^{n-1}}{x^2}=x+2C_n^1{x^2}+3C_n^2{x^3}+…+（{k+1}）C_n^k{x^{k+1}}+…+（{n+1}）C_n^n{x^{n+1}}$，
兩邊再對x求導，得（1+x）ⁿ+n（1+x）^n-1x+n（n-1）（1+x）^n-2x²+2n（1+x）^n-1x=$1+{2^2}C_n^1x+{3^2}C_n^2{x^2}+…+{（{k+1}）^2}C_n^k{x^k}+…+{（{n+1}）^2}C_n^n{x^n}$．…（8分）
令x=1，得2ⁿ+n2^n-1+n（n-1）2^n-2+2n2^n-1=$1+{2^2}C_n^1+{3^2}C_n^2+…+{（{k+1}）^2}C_n^k+…+{（{n+1}）^2}C_n^n$，
即${1^2}C_n^0+{2^2}C_n^1+{3^2}C_n^2+…+{（{k+1}）^2}C_n^k+…+{（{n+1}）^2}C_n^n$=2^n-2（n²+5n+4）．…（10分）

點評 本題考查了組合數的計算公式及其性質、利用導數的運算法則化簡證明，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．