Question

3．過點P（2，1）的直線l與函數f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點，O為坐標原點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，可得函數f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關于點P（2，1）對稱，過點P（2，1）的直線l與函數f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點，A，B兩點關于點P（2，1）對稱⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，
∴函數f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關于點P（2，1）對稱，
∴過點P（2，1）的直線l與函數f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點，
A，B兩點關于點P（2，1）對稱，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$，
∴則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=2×5=10．
故選：D．

點評 本題考查了函數的對稱性及向量的運算，屬于中檔題．