Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{b}$=（4，2）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{a}$的坐標；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）設$\overrightarrow{a}$=（x，y），推出x²+y²=5，通過$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，即可求解$\overrightarrow{a}$的坐標．
（2）因為$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直，數量積為0，得到5$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，利用數量積求解cosθ，然后θ∈[0，π]，求出$θ=\frac{2π}{3}$．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{a}$=（x，y），則x²+y²=5…（2分）
因為$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，所以4y-2x=0…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=5\\ 4y-2x=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right.$
所以$\overrightarrow{a}$的坐標為：（2，1）或（-2，-1）；…（6分）
（2）因為$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$與5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$垂直，所以（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）（5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0…（8分）
化簡得：5$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0
又因為$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{5}$，所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5…（10分）
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-5}{\sqrt{5}•2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$…（12分）
又因為θ∈[0，π]，所以$θ=\frac{2π}{3}$．                     …（14分）

點評 本題考查向量的數量積的應用，向量共線以及坐標運算，考查計算能力．