Question

2．若a∈R⁺，則當a+$\frac{1}{9a}$的最小值為m時，不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1的解集為{x|x＜-3或x＞-1}．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a+$\frac{1}{9a}$的最小值m，再代入不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，化為等價的不等式x²+4x+3＞0，求出解集即可．

解答 解：∵a∈R⁺，∴a+$\frac{1}{9a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{9a}}$=$\frac{2}{3}$，
當且僅當a=$\frac{1}{9a}$，即a=$\frac{1}{3}$時取“=”；
∴a+$\frac{1}{9a}$的最小值為m=$\frac{2}{3}$；
∴不等式m${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1為：
（$\frac{2}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+4x+3}$＜1，
等價于x²+4x+3＞0，
解得x＜-3或x＞-1；
故所求不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-1}．
故答案為：{x|x＜-3或x＞-1}．

點評 本題考查了利用基本不等式求最值以及指數不等式的解法與應用問題，是基礎題目．