Question

8．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），又以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ+4ρsinθ-3=0．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標方程互化方法將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）將直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），代入曲線C方程得t²+4t-10=0，利用參數的幾何意義求|AB|的長．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程ρ²cos2θ+4ρsinθ-3=0，
化為ρ²cos²θ-ρ²sin²θ+4ρsinθ-3=0，即x²-y²+4y-3=0．
∴曲線C的直角坐標方程為（y-2）²-x²=1．
（2）將直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
代入曲線C方程得t²+4t-10=0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-4，t₁t₂=-10，
所以$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{14}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標方程互化方法，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．