Question

11．如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根據周邊環境及地形實際，當地政府規劃在該空地內建一個箏形商業區AEFG，箏形的頂點A，E，F，G為商業區的四個入口，其中入口F在邊BC上（不包含頂點），入口E，G分別在邊AB，AD上，且滿足點A，F恰好關于直線EG對稱，矩形內箏形外的區域均為綠化區．
（1）請確定入口F的選址范圍；
（2）設商業區的面積為S₁，綠化區的面積為S₂，商業區的環境舒適度指數為$\frac{S_2}{S_1}$，則入口F如何選址可使得該商業區的環境舒適度指數最大？

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0，0），設F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點為（1，a），斜率為a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；
（2）因為${S_1}=2{S_{△AEG}}=AE•AG=（{a+\frac{1}{a}}）（{1+{a^2}}）={a^3}+2a+\frac{1}{a}$，該商業區的環境舒適度指數$\frac{S_2}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}-{S_1}}}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}}}{S_1}-1=\frac{8}{S_1}-1$，所以要使$\frac{S_2}{S_1}$最大，只需S₁最小．轉化為求其最小值．

解答 解：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0，0），
設F（2，2a）（0＜2a＜4），則AF的中點為（1，a），斜率為a，
而EG⊥AF，故EG的斜率為$-\frac{1}{a}$，
則EG的方程為$y-a=-\frac{1}{a}（{x-1}）$，
令x=0，得${y_G}=a+\frac{1}{a}$；             
令y=0，得${x_E}=1+{a^2}$；              
由$\left\{\begin{array}{l}0＜{y_G}≤4\\ 0＜{x_E}≤2\\ 0＜BF＜4\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}\\ 0＜a≤1\\ 0＜a＜2\end{array}\right.$，
∴$2-\sqrt{3}≤a≤1$，
即入口F的選址需滿足BF的長度范圍是$[4-2\sqrt{3}，2]$（單位：km）．
（2）因為${S_1}=2{S_{△AEG}}=AE•AG=（{a+\frac{1}{a}}）（{1+{a^2}}）={a^3}+2a+\frac{1}{a}$，
故該商業區的環境舒適度指數$\frac{S_2}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}-{S_1}}}{S_1}=\frac{{{S_{ABCD}}}}{S_1}-1=\frac{8}{S_1}-1$，
所以要使$\frac{S_2}{S_1}$最大，只需S₁最小．
設${S_1}=f（a）={a^3}+2a+\frac{1}{a}，a∈[2-\sqrt{3}，1]$，
則$f'（a）=3{a^2}+2-\frac{1}{a^2}=\frac{{3{a^4}+2{a^2}-1}}{a^2}=\frac{{（{3{a^2}-1}）（{{a^2}+1}）}}{a^2}=\frac{{（{\sqrt{3}a-1}）（{\sqrt{3}a+1}）（{{a^2}+1}）}}{a^2}$，
令f'（a）=0，得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（舍），
a，f'（a），f（a）的情況如下表：

a	2-$\sqrt{3}$	（2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$（\frac{\sqrt{3}}{3}，1）$	1
f'（a）		-	0	+
f（a）		減	極小	增

故當$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即入口F滿足$BF=\frac{2}{3}\sqrt{3}$km時，該商業區的環境舒適度指數最大．

點評 本題主要考查了直角坐標系在應用題中的應用，考查了利用導數研究函數單調性與函數最值，屬中等題．