Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設P為橢圓上一點，若∠PF₁F₂=$\frac{5π}{6}$，求△PF₁F₂的面積；
（3）若P為橢圓上一點，且∠F₁PF₂為鈍角，求P點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，又a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（2）F₁（-1，0），由$∠P{F_1}{F_2}=\frac{5π}{6}$，可得${k}_{P{F}_{1}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．直線PF₁方程為：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．與橢圓方程聯立化為：7y²+2$\sqrt{3}$y-3=0，解出y_P．可得△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|{y}_{P}|$•2c=|y_P|．
（3）設P（x₀，y₀），（-2＜x₀＜2）．則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1．由∠F₁PF₂為鈍角，可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$$•\overrightarrow{{F}_{2}P}$＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，又a²=b²+c²，聯立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）F₁（-1，0），∵$∠P{F_1}{F_2}=\frac{5π}{6}$，∴${k}_{P{F}_{1}}$=$tan\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線PF₁方程為：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：7y²+2$\sqrt{3}$y-3=0，
解得y=$\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{7}$，或y=$\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{3}}{7}$．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}|{y}_{P}|$•2c=|y_P|=$\frac{2\sqrt{6}±\sqrt{3}}{7}$．
（3）設P（x₀，y₀），（-2＜x₀＜2）．則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1．
∵∠F₁PF₂為鈍角，∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$$•\overrightarrow{{F}_{2}P}$＜0，
∴${x}_{0}^{2}-3$+${y}_{0}^{2}$＜0，
∴${x}_{0}^{2}-3$+1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$＜0，
化為：${x}_{0}^{2}$$＜\frac{8}{3}$，又-2＜x₀＜2，
解得$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴P點橫坐標的取值范圍為$（-\frac{2\sqrt{2}}{3}，\frac{2\sqrt{2}}{3}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、三角形面積計算公式、向量夾角公式、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．