Question

15．已知函數f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數f（x）對稱中心的坐標；
（2）求函數f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 首先根據函數的最值和對稱軸之間的距離確定A和ω，進一步求出正弦型函數的解析式．
（1）根據正弦函數圖象性質求得函數f（x）對稱中心的坐標；
（2）根據正弦函數圖象的性質求值域．

解答 解：因為A＞0，所以f（x）_max=A+1=3，
所以A=2，
又因為f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
所以$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
所以T=π，
故ω=$\frac{2π}{π}$=2，
所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（1）令2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），
  所以x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
故對稱中心為（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1）（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]
所以函數f（x）在區間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為：[0，3]．

點評 本題考查的知識要點：函數的最值即對稱軸之間的距離再求正弦型函數解析式中的應用，利用解析式求函數的對稱中心和單調區間．屬于基礎題型．