Question

5．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求B；            
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，b=2求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出cosB的值，即可確定出B；
（Ⅱ）利用三角形面積公式可求ac=4，利用余弦定理可求a+c=4，聯(lián)立即可解得a，c的值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a-c，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：
2sinBcosC=2sinA-sinC=2sin（B+C）-sinC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，
整理得：2cosBsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
則B=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ac，解得：ac=4，①
又∵b=2，由余弦定理可得：2²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-12，
∴解得：a+c=4，②
∴聯(lián)立①②解得：a=c=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．